ومن الواضح أن العنصر المحايد واحد فقط في الزمرة، وأن العنصر المعاكس للعنصر محدد بوضوح. هذا وقد يتغير ناتج العملية بتغير ترتيب أطرافها، وبعبارة أخرى فإن ناتج دمج العنصر مع العنصر ليس بالضرورة مساويًا لناتج دمج العنصر مع العنصر ، فهذه المعادلة: قد لا تكون صحيحة دائمًا. تتحقق هذه المعادلة دائمًا في زمرة الأعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع؛ وهذا لأن لأي عددين صحيحين (إبدالية الجمع). ويطلق على الزمر التي تحقق دومًا المعادلة الزمر الأبيلية (تخليدًا لنيلس أبيل). وتعد زمرة التماثل (التالي شرحها) مثالًا للزمر غير الأبيلية. كثيرًا ما يُكتب العنصر المحايد أو ، وهذا الرمز مأخوذ من المحايد الضربي. تعريف الجمع في الرياضيات - موضوع. كما قد يُكتب العنصر المحايد خاصة إذا رُمز لعملية الزمرة بـ ، وتسمى الزمرة في هذه الحالة زمرة جمعية. وقد يُكتب العنصر المحايد أيضًا. المثال الثاني: زمرة التماثل يتطابق الشكلان في في نفس المستوى إذا أمكن أن يحوَّل أحدهما إلى الآخر باستخدام مزيج من الدورانات والانعكاسات والانزلاقات. يتطابق كل شكل بديهيًّا مع نفسه. ومع ذلك فإن بعض الأشكال تتطابق مع نفسها بعدة طرق. تسمى هذه التطابقات الإضافية التماثلات. للمربع ثمانية تماثلات، كما توضح تلك الصور: العملية المحايدة تحفظ الشكل من التغيير كما في الشكل id.
فمثلاً: إذا أضفنا رقم 0 إلى 9 في عملية الجمع، (0+9) فإن الناتج في تلك العمليةالحسابية يظل 9، فلا يتأثر بالمُدخل المُضاف. فما معنى الجمع الحيادي في العمليات الحسابية؟ هذا ما نُشير إليه: إن عملية الجمع الحيادي في الجمع تُشير إلى عدم تأثير الصفر على العملية الحسابية بالسلب أو الإيجاب. إذ يظل الناتج الحسابي كما هو في حالة إضافة العنصر الحيادي من عدمه. خاصية الوحدات عبارة عن الخاصية التي تهتم بإضافة الوحدات نفسها في الحدود الخاصة بالمجموعة. بحيث تتحول الوحدات إلى مجموعة واحدة. العنصر المحايد في عملية الجمع هو الصفر. فإذا أردنا أن نجمع وحدتين فيجب أن يكونا من ذات الوحدة، وألا تُضاف وحدة على وحدة أخرى مغايرة. فمثلاً يُمكنك إضافة وحدة سم على الوحدة المماثلة لها سم. تعريف الجمع في الرياضيات يتعلم الطلاب في المراحل الدراسية الأولى طريقة الجمع في العمليات الحسابية. فهي من أسهل العمليات التي لا تحتاج إلى مهارات عقلية. إلا أن طريقة التلقين لها تُعتبر من العوامل المؤثرة على فهم وإدراك الطالب بالعملية الحسابية. فيما لابد أن يتعلم الطالب أولاً الأرقام بالبدء في تعليمه الأعداد باستخدام الألوان أو الصور والرسوم. تعليم الطلاب عملية العدّ وما ينتج عن إضافة رقمين.
يعدد جدول الزمرة على اليسار نتائج جميع هذه التراكيب الممكنة. على سبيل المثال، بالدوران بزاوية 270° يمينًا (r 3) ثم قلب الناتج أفقيًّا (f h) نحصل على نفس الناتج الذي نحصل عليه بالانعكاس القطري (f d). بالاستعانة بالجدول نستنتج أن: يمكن تطبيق بديهيات الزمر على الزمرة D 4 المعرفة عناصرها وعمليتها في الجدول وحيث كالتالي: تحقيق بديهية الانغلاق يتطلب أن يكُون أي أن يكون تماثلًا أيضًا. العنصر المحايد في عملية الجمع هو الواحد. هذا مثال أخر على عملية الزمرة اعتمادًا على الجدول في اليسار: أي أن الدوران بزاوية 270° يمينًا بعد الانعكاس أفقيًّا يساوي الانعكاس القطري العكسي. والمغزى أن أي تركيب لتماثلين يكون تماثلًا آخر من نفس الدرجة، يُمكن التأكد من ذلك بالاستعانة بالجدول في اليسار. تتعامل التجميعية مع العمليات التي يركَّب فيها أكثر من تماثلين. توجد طريقتان نستطيع بها استخدام العناصر a و b و c على الترتيب لتكوين تماثل لمربع: الأولى هي أن يركَّب العنصران a و b في تماثل واحد أولًا، ثم أن يركَّب هذا التماثل مع c. والطريقة الأخرى هي أن يركَّب أولًا b و c، ثم أن يركَّب التماثل الناتج مع a. في حالة التجميعية يكون: وهذا يعني أن ناتجي هاتين الطريقتين متساويان، أي يمكن تبسيط ناتج تركيب العديد من العناصر في الزمرة بجعلها في شكل تجميعات.
المثال الأول: الأعداد الصحيحة من أشهر الأمثلة على الزمر مجموعة الأعداد الصحيحة Z ، وهي تتكون من الأعداد التالية:..., 4, 3, 2, 1, 0, 1-, 2-, 3-, 4-,... إلى جانب عملية الجمع. الخصائص التالية لعملية جمع الأعداد الصحيحة هي نموذج للبديهيات التجريدية للزمر. مجموع عددين صحيحين هو عدد صحيح. ولا يمكن نهائيا أن يكون مجموع عددين صحيحين عددًا غير صحيح. تعرف هذه الخاصية باسم الانغلاق بالنسبة للجمع. بالنسبة لثلاثة أعداد a و b و c، فإن (a + b) + c = a + (b + c). أي أنه إذا جُمعت a و b أولًا، ثم أُضيفت c، فسيُحصل على نفس النتيجة إذا ما جمعت a مع حاصل مجموع b و c. تعرف هذه الخاصية باسم التجميعية. العنصر المحايد في عملية الجمع هو - منبع الحلول. إذا كان a عددًا صحيحًا، فإن a + 0 = 0 + a = a. الصفر يسمى عنصرا محايدا. لكل عدد صحيح a، يوجد عدد صحيح b حيث a + b = b + a = 0. العدد الصحيح b يسمى العنصر المعاكس للعدد a ويُكتب a-. وتشكل زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع كائنًا رياضيًّا ينتمي إلى تصنيف واسع من الكائنات الأخرى تشاركه خصائصه البنيوية. وقد طُور التعريف التجريدي التالي لفهم هذه البنى فهمًا شاملًا. تعريف بديهيات الزمر قصيرة وطبيعية... ومع ذلك وبطريقة ما يوجد وراء هذه البديهيات ما يُعرف بزمرة الوحش البسيطة، وهو كائن رياضياتي ضخم وغريب من الواضح أن وجودها يعتمد على العديد من المصادفات الغريبة.
لَقَدْ جَاءَكُمْ رَسُولٌ مِّنْ أَنفُسِكُمْ عَزِيزٌ عَلَيْهِ مَا عَنِتُّمْ حَرِيصٌ عَلَيْكُم بِالْمُؤْمِنِينَ رَءُوفٌ رَّحِيمٌ (128) يقول تعالى ممتنا على المؤمنين بما أرسل إليهم رسولا من أنفسهم ، أي: من جنسهم وعلى لغتهم ، كما قال إبراهيم ، عليه السلام: ( ربنا وابعث فيهم رسولا منهم) [ البقرة: 129] ، وقال تعالى: ( لقد من الله على المؤمنين إذ بعث فيهم رسولا من أنفسهم) [ آل عمران: 164] ، وقال تعالى: ( لقد جاءكم رسول من أنفسكم) أي: منكم وبلغتكم ، كما قال جعفر بن أبي طالب للنجاشي ، والمغيرة بن شعبة لرسول كسرى: إن الله بعث فينا رسولا منا ، نعرف نسبه وصفته ، ومدخله ومخرجه ، وصدقه وأمانته ، وذكر الحديث. وقال سفيان بن عيينة ، عن جعفر بن محمد ، عن أبيه في قوله تعالى: ( لقد جاءكم رسول من أنفسكم) قال: لم يصبه شيء من ولادة الجاهلية ، وقال صلى الله عليه وسلم: " خرجت من نكاح ، ولم أخرج من سفاح ". وقد وصل هذا من وجه آخر ، كما قال الحافظ أبو محمد الحسن بن عبد الرحمن الرامهرمزي في كتابه " الفاصل بين الراوي والواعي ": حدثنا أبو أحمد يوسف بن هارون بن زياد ، حدثنا ابن أبي عمر ، حدثنا محمد بن جعفر بن محمد قال: أشهد على أبي لحدثني ، عن أبيه ، عن جده ، عن علي قال: قال رسول الله صلى الله عليه وسلم: " خرجت من نكاح ولم أخرج من سفاح ، من لدن آدم إلى أن ولدني أبي وأمي لم يمسني من سفاح الجاهلية شيء ".
﴿لَقَد جاءَكُم رَسولٌ مِن أَنفُسِكُم عَزيزٌ عَلَيهِ ما عَنِتُّم … الآية ﴾ [التوبة: ١٢٨] - YouTube
* ذكر من قال ذلك: 17510- حدثنا بشر قال، حدثنا يزيد قال، حدثنا سعيد, عن قتادة: (حريص عليكم) ، حريص على ضالهم أن يهديه الله. 17510م- حدثنا محمد بن عبد الأعلى قال، حدثنا محمد بن ثور, عن معمر, عن قتادة في قوله: (حريص عليكم) ، قال: حريص على من لم يسلم أن يسلم. ------------------------ الهوامش: (15) انظر تفسير " من أنفسهم " فيما سلف 7: 369. (16) انظر تفسير " عزيز " فيما سلف من فهارس اللغة ( عزز) = وتفسير " العنت " فيما سلف 4: 360 / 7: 140 - 144 / 8: 206. لقد جاءكم رسول من أنفسكم عزيز عليه. (17) انظر تفسير " الحرص " فيما سلف 9: 284. (18) انظر تفسير " رؤوف " فيما سلف 3: 171: 251 / 14: 539. = وتفسير " رحيم " فيما سلف من فهارس اللغة ( رحم). (19) في المطبوعة والمخطوطة " ولا يحسدونه " بالواو ، والسياق يقتضي ما أثبت. (20) في المخطوطة ، بياض بين " كما " ، و " الله به " بقدر كلمتين ، وفي المطبوعة أتم الكلام هكذا: " كما وصفه الله به ، عزيزا عليه " ، والزيادة بين القوسين استظهار مني ، وسائره كنص المخطوطة.