العدد 72 عدد غير أولي لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما 72 وهما (2×36) مثلًا. العدد 2 عدد أولي، لذا العدد 2 ثاني عدد أولي للعدد 360. العدد 36 عدد غير أولي، لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما العدد 36 وهما (2×18). العدد 2 عدد أولي، لذا العدد 2 ثالث عدد أولي للعدد 360. العدد 18 عدد غير أولي، لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما العدد 18 وهما (2×9). العدد 2 عدد أولي، لذا العدد 2 رابع عدد أولي للعدد 360. العدد 9 عدد غير أولي، لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما العدد 9 وهما (3×3). أي مما يأتي يعبّر عن تحليل العدد ١٨ إلى عوامله الأولية - خدمات للحلول. العددان 3 و3 عددان أوليان، لذا العددان 3 و3 هما رابع وخامس أعداد أولية للعدد 360. وبالتالي الأعداد الأولية للعدد 360 هي: 5×2×2×2×3×3 = 360. 360 ← 5× 72 ← 5× 2×36 ← 5×2× 2×18 ← 5×2×2× 2×9 ← 5×2×2×2×3×3 مثال 4: حلّل العدد 509 إلى عوامله الأولية. الحل: إذا لم نستطيع تحديد أن العدد الكبير هو عدد أولي أم لا نتبع الخطوات التالية: [٤] نُطبق جميع القواعد عليه إذا حقق أحد القواعد فهو عدد غير أولي ويجب تحليله. إذا لم يُحقق أي قاعدة من القواعد نأخذ الجذر التربيعي للعدد، ثم نُقسم العدد على جميع الأعداد الأولية التي تقل عن قيمة الجذر التربيعي. إذا قبل العدد القسمة على أي عدد أولي أقل من قيمة الجذر التربيعي، فهو عدد ليس أوليًا ويجب تحليله إلى عوامله الأولية.
إذا لم يقبل العدد القسمة على أي عدد أقل من قيمة الجذر، إذًا العدد أولي ولا يُمكن تحليله. نتحقق فيما إذا كان العدد 509 عددًا أوليًا أم لا: نبدأ بأول خطوة: نُلاحظ أن العدد 509 ليس عددًا زوجيًا، ولا ينتهي بصفر أو 5، كما أن مجموع جميع خاناته يساوي 14، والعدد 14 لا يقبل القسمة على 3. نأخذ الجذر التربيعي للعدد 509: (509√ = 22. 56). نُجرب قسمة العدد 509 على جميع الأعداد الاولية التي تقل عن 22. 56: 509÷2= 254. 5، لا يقبل القسمة على 2. 509÷3= 169. 66، لا يقبل القسمة على 3. 509÷5= 101. 8، لا يقبل القسمة على 5. 509÷7= 72. 71، لا يقبل القسمة على7. 509÷11= 46. 27، لا يقبل القسمة على 11. 509÷13= 39. 15، لا يقبل القسمة على 13. 509÷17= 29. 9، لا يقبل القسمة على 17. 509÷19= 26. 78، لا يقبل القسمة على 19. نُلااحظ أنّ العدد لم يقبل القسمة على أي عدد أولي أقل من 22. 56. وبالتالي العدد 509 عددًا أوليًا لا يُمكن تحليله. العوامل الأولية هي عبارة عن أعداد صحيحة تكون أكبر من الرقم واحد، ولا تقبل القسمة إلّا على نفسها وعلى واحد، وبالتالي تمتلك عاملين فقط وهما: العدد واحد، والعدد الصحيح نفسه، ولذلك تُحلل الأعداد غير الأولية إلى عواملها الأولية بحيث إذا ضُربت جميع العوامل ببعضها البعض يكون الناتج هو عدد غير أولي.
ما طرق تحليل الأعداد الأولية يتم إيجاد الأعداد الأولية من خلال عدة طرق، ومن أكثر الطرق شيوعًا في علم الرياضيات لإيجاد التحليل الأولي لرقم معين،ومن هذه الطرق المُستخدمة في عملية التحليل الأولي. [2] شجرة العوامل يتم العثور على العدد الأولي لرقم معين باستخدام طريقة شجرة العوامل، من خلال معرفة عوامل العدد، وبعد ذلك تحليل هذه الأرقام للحصول على الأعداد الأولية، وتعتمد طريقة شجرة العوامل على هذه الخطوات: يكون الرقم في جذر الشجرة الموجود في الجزء العلوي من شجرة العوامل. يكون زوج العوامل المقابلة كفروع الشجرة. يتم تحليل العوامل المركبة الموجودة في فرع الشجرة. نضع زوج العوامل الناتجة كفروع في الشجرة الثانية. نكرر الخطوات حتى نحصل على العوامل الأولية لجميع الأعداد المركبة. القسمة يمكن أيضًا إيجاد العوامل الأولية عن طريق استخدام طريقة القسمة، من خلال بقسمة الرقم الكبير على الأعداد الأولية، ويتم الحصول على الأعداد الأولية باتباع الخطوات التالية: تقسّيم الرقم على أصغر عدد أولي، حيث يجب على العدد الأولي الصغير قسمة الرقم بالكامل. يتم تقسيم حاصل القسمة مرة أخرى على أصغر عدد أولي. يتم تكرار عملية القسمة حتى يصبح حاصل القسمة 1.